Question

有下列六個命題：
（1）經過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；
（2）經過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；
（3）若a∥b，則在平面α內到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行．
其中真命題的序號有：

（2）（3）（6）

．（將所有命題的序號都填上）

Answer 1

分析：考查六個命題，（1）經過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；研究線線垂直問題，由線線垂直的條件判斷；
（2）經過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；研究線面垂直問題，由線面垂直條件判斷；
（3）若a∥b，則在平面α內到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；研究面上的點到兩平行線距離相等的問題，可分情況舉例說明；
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；研究與兩異面直線都平行的問題，可舉例說明它不成立；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；研究過一點的直線與兩異面直線都相交的問題，可舉例說明；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行，研究兩條異面直線中的一條作一個平面與另一條直線平行的問題，可由線面平行的條件說明此命題是真命題

解答：解：（1）經過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；考察此命題，它是一個假命題，因為過直線外一點可以作一個平面與此直線垂直，此平面上的所有直線都與這個線垂直；
（2）經過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；考察此命題，它是一個真命題，因為過直線外一點只能作一個平面與此直線垂直；
（3）若a∥b，則在平面α內到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；考察此命題，它是一個真命題，當此兩平行線到平面的距離相等且在同側時，此時平面上到兩直線距離相等的點的軌跡是一條直線，當當此兩平行線到平面的距離相等且在異側時，兩平行線確定的平面垂直于已知平面，此時此平面上的所有點到兩直線的距離都相等，故此時的軌跡是一個平面，當兩平行線一在面內一在面外且此兩直線確定的平面垂直于已知平面時，在已知平面上找不到一個點到此兩直線的距離相等，此時符合條件的點的集合是空集．
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；此命題不正確，當過點P與兩條異面直線中的一條的平面與另一條直線平行時，此時找不到一個過P的平面與兩條異面直線都平行；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；考察此命題，它是一個假命題，當過點P與兩條異面直線中的一條的平面與另一條直線平行時，找不到過點P的直線與兩異面直線都相交；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行．此命題是正確的，任取一條線上一點，過此點作一條直線與另一條直線平行，此時兩相交線確定的平面是唯一的，故命題成立
綜上知，命題（2）（3）（6）正確；
故答案為（2）（3）（6）

點評：本題考查命題真假的判斷，考查了空間中線線位置關系，線面位置關系，兩異面直線的關系等，正確解答本題，關鍵是要有著較好的空間立體感知能力，能對命題所涉及的問題找到恰當的模型做載體進行判斷．本題是訓練空間感知能力的一道好題