Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為，，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)性見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可容易求得；

（Ⅱ）根據(jù)是的兩根，求得之間的關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性即可證明.

（Ⅰ）∵∴（）.

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，或，

∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，或，

∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）∵（）.

且的兩個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為，

∴，是方程的兩個(gè)根，

∴

又，且所以

欲證，即證

只需證

令（），

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

∴，

即成立.