Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若函數在處的切線垂直于軸，求函數的極值；

（Ⅱ）若函數有兩個零點，，求實數的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極小值為0；（Ⅱ），證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出求出，進而求出的解，得出單調區間，即可求出結論；

（Ⅱ）代入解析式得函數值為0，整理得，轉化為證明，不妨設，只需證，根據函數單調性只需證，構造函數，，利用單調性證明恒成立，即可證明結論.

（Ⅰ），

，∴，∴，

令，，

，

∴的極小值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點，，

必須有且最小值

，

∴，∴，∴，

又∵當時，；

當時，，∴，

此時，，

∴，，

∴，

要證：，即證：，

即證：，即證：，

即證：，

不妨設，∴，∴，

即證：，

即證：，

令

，

，

當且僅當時取“”，

∴在上為增函數，

∴，∴成立，

∴成立.