Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.

（1）求證：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證；

（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數量積求解即可.

（1）在等腰梯形中,

點E在線段上,且,

點E為上靠近C點的四等分點,

,,,

,

點P在底面上的射影為的中點G,連接,

平面,

平面,.

又,平面,平面,

平面.

（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,

由（1）易知,,,

又,,

,為等邊三角形,,

則,,,,,

,,,,

設平面的法向量為,

則，即,

令,則,,,

設平面的法向量為,

則,即,

令,則,,,

設平面與平面的夾角為θ,則

二面角的余弦值為.