Question

【題目】某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當范圍內，決定對這種食品生產廠家提供政府補貼，設這種食品的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據市場調查，當16≤x≤24時，這種食品市場日供應量p萬千克與市場日需求量q萬千克近似地滿足關系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln (16≤x≤24)．當p＝q時的市場價格稱為市場平衡價格．

(1)將政府補貼表示為市場平衡價格的函數，并求出函數的值域．

(2)為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為每千克多少元？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)由p＝q得

2(x＋4t－14)＝24＋8ln (16≤x≤24，t≥0)．

t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

∵t′＝－－<0，∴t是x的減函數．

∴tmin＝－×24＋ln ＝＋ln ＝＋ln ；

tmax＝－×16＋ln ＝＋ln ，

∴值域為.

(2)由(1)知t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

而x＝20時，t＝－×20＋ln ＝1.5(元/千克)，

∵t是x的減函數，欲使x≤20，必須t≥1.5(元/千克)，要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為1.5元/千克．