Question

如圖已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為（2，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A、B、O 三點，求此二次函數的解析式；                             
（3）在（2）中的二次函數圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求點B的坐標，在RtOAB中，過B作BD垂直于x軸，垂足為D，只要求OD，BD即可
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

）（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c，解方程可求a，b，c進而可求函數解析式
（3）設存在點C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四邊形ABCO的面積最大，由于△OAB的面積為定值，只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過點C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點F，則S_△OBC=

1

2

CF•OE+

1

2

CF•ED=

1

2

CF•OD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)，利用二次函數的性質可求

解答：解：（1）在RtOAB中，∠AOB=30°
∴OB=

3

，過B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=

3

2

，BD=

3

2

∴B(

3

2

，

3

2

)（3分）
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

），O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c可得

c=0 4a+2b+c=0 9a 4 + 3b 2 +c= 3 2

∴a=-

2 3

3

，b=

4 3

3

，c=0
∴所求的二次函數的解析式為y=-

2  3

3

x2+

4 3

3

x（6分）
（3）設存在點C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四邊形ABCO的面積最大
∵△OAB的面積為定值
∴只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過點C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點F，過B做BD垂直于y軸，則
S_△OBC=

1

2

EF•BD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)
∴S_△OBC=-

3

2

x 2 +

3 3

4

x=-

3

2

(x-

3

4

)2+

9 3

32

∴當x=

3

4

時，△OBC的面積最大，最大面積為

9 3

32

此時點C的坐標為（

3

4

，

5 3

8

），四邊形ABCO的面積為

25 3

32

（10分）

點評：本題主要考查了在直角三角形中求解線段的長度，及利用待定系數法求解二次函數的解析式，利用二次函數的性質求解函數的最大值等知識的綜合應用．