Question

【題目】已知函數

(1)若關于的方程有兩個不同實數根,求的取值范圍；

(2)若關于的不等式對任意恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據對數相等條件可將方程化為；令，，可將方程進一步整理為；當時，可驗證知不合題意；當時，求得，進而得到；利用和對數真數大于零的要求可構造不等式求得結果；

（2）根據對數函數單調性可將恒成立的不等式可化為，利用絕對值不等式的解法可得且對恒成立；利用分離變量法將問題轉化為與函數最值的大小關系，通過求解函數最值得到結果.

（1）由題意得：

整理可得：

設，，則原方程可化為：

即：

當，即時，原方程可化為，不存在兩個不等實根

的兩根為：，

即，

若原方程有兩個不等實根，則，解得：且

又，

且，解得：

的取值范圍為

（2）由題意得：對任意恒成立

，即

由得：

當時，（當時取最小值）

由得：

當時，（當時取最大值） ，即

綜上所述：的取值范圍為