Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明: 對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數在上單調遞增，在內單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；

當時，函數在上單調遞增；

當， 在單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析： 對函數求導，對分類討論函數的單調性；

構造函數，對構造函數的兩部分， 分別求導討論單調性及取值范圍，則，得證。

解析：（Ⅰ）的定義域為；.

當， 時，，單調遞增；，單調遞減.當時，.

（1），，

當或時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

（2）時，，在內，，單調遞增；

（3）時，，

當或時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

綜上所述，

當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；

當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；

當時，在內單調遞增；

當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，

，，

令，.

則，

由可得，當且僅當時取得等號.

又，

設，則在單調遞減，因為，

所以在上存在使得 時，時，，

所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，

由于，因此，當且僅當取得等號，

所以，

即對于任意的恒成立