Question

關于函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f （x₁）=f （x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②若x₁，x₂∈（-

π

6

，

π

12

），且2f（x1）=f（x₁+x₂+

π

6

），則x₁＜x₂；
③函數的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
④函數y=f （-x）的單調遞增區間可由不等式2kπ-

π

2

≤-2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）求得．
正確命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：對于①和③通過利用三角函數的函數值等于0分析變量x₁ 和x₂ 的取值情況，從而判斷命題的真假；
對于④，直接利用求復合函數單調性的方法加以判斷；
②的判斷稍微困難，分析得到[-

π

6

，

π

12

]為f（x）的第一個

1

4

周期，利用周期性加以變形，得到2f（x₁）=2sin（2x₁+

π

3

），然后利用sin（2x1+2x1+

2π

3

）=2sin（2x1+

π

3

）cos（2x1+

π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

），結合單調性即可得到結論．

解答：解：對于①．令2x+

π

3

=kπ，得到x=

kπ

2

-

π

6

（k是整數），
由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是

π

2

的整數倍，故①錯誤；
對于②．f（x）=4sin（2x+

π

3

），
求解得f（-

π

6

）=0，f（

π

12

）=1，周期T=π．
則[-

π

6

，

π

12

]為f（x）的第一個

1

4

周期（此周期內f（x）單調增大于0）．
設x₁，x₂ 的取值區間為D，
2f（x₁）=2sin（2x₁+

π

3

）
f（x1+x2+

π

6

）=sin（2x1+2x2+

2π

3

）
由于cos（2x1+

π

3

）在D中取值范圍為（0，1），得
sin（2x1+2x1+

2π

3

）=2sin（2x1+

π

3

）cos（2x1+

π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

）
即sin（2x1+2x1+

2π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

）
又，在D中f（x）性質如上述，由單調性有x₁＜x₂．故②正確；
對于③．令2x+

π

3

=kπ，得到x=

kπ

2

-

π

6

（k是整數），當k=0時，得到x=-

π

6

，
所以函數y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱．故③正確；
對于④．函數y=f （-x）=4sin(-2x+

π

3

)，
若求其增區間，只需讓-2x+

π

3

在正弦函數的減區間內即可，故④不正確．
所以正確的命題的序號是②③．
故答案為②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了正弦型復合函數的性質，解答的關鍵是熟記課本基礎知識，是中檔題．