Question

設向量，函數在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求b_n的表達式；
（3）c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2在[0，1]上為增函數，知a_n=n+1
（2）由可
（3）由題意知，，由此可知存在k=8，9使得c_n≤c_k對所有的n∈N*成立
解答：解：（1）∵，
∴函數=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2
判斷知，此函數在[0，1]上為增函數，
∴a_n=-2+1+4+n-2=n+1
（2）
兩式相減得：
由上式得
兩式作差得
又n=1時，b₁=1
所以
（3）n≥2時，，
令
驗證知，當n=1，2也滿足
故存在k=8，9使得c_n≤c_k對所有的n∈N*成立
點評：本題考查數列的性質及其應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答．