Question

(本小題滿分14分)函數(shù)f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x的最小值為g(a)(a∈R)．

(1)求g(a)；

(2)若g(a)＝，求a及此時(shí)f(x)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析； (2) a＝－1.  此時(shí)f(x)取得最大值為5.       

【解析】(1)f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x＝2²－－2a－1.－1≤cosx≤1.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決.

(2)在第（1）問的基礎(chǔ)上，根據(jù)g(a)＝，建立關(guān)于a的方程求解即可.

解：(1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x

＝1－2a－2acosx－2(1－cos²x)

＝2cos²x－2acosx－(2a＋1)

＝2²－－2a－1.這里－1≤cosx≤1.     …………4分      

①若－1≤≤1，即－2≤a≤2，則當(dāng)cosx＝時(shí)，f(x)_min＝－－2a－1；…………5分 

②若>1，則當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)_min＝1－4a；…………6分 

③若<－1，則當(dāng)cosx＝－1時(shí)，f(x)_min＝1.           …………7分  

因此g(a)＝.…………8分  

(2)∵g(a)＝.

∴①若a>2，則有1－4a＝，得a＝，矛盾；   …………10分  

②若－2≤a≤2，則有－－2a－1＝，

即a²＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．    …………12分  

∴g(a)＝時(shí)，a＝－1.  此時(shí)f(x)＝2²＋，

當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值為5.           …………14分