Question

【題目】記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數列”.

（1）若，求的前項和；

（2）證明：的“極差數列”仍是；

（3）求證：若數列是等差數列，則數列也是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由是遞增數列，得，由此能求出的前項和.

（2）推導出，，由此能證明的“極差數列”仍是.

（3）證當數列是等差數列時，設其公差為，，是一個單調遞增數列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數列是等差數列，則數列也是等差數列.

（1）解：∵無窮數列的前項中最大值為，最小值為，，，

是遞增數列，∴，

∴的前項和.

（2）證明：∵，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的“極差數列”仍是

（3）證明：當數列是等差數列時，設其公差為，

，

根據，的定義，得：

，，且兩個不等式中至少有一個取等號，

當時，必有，∴，

∴是一個單調遞增數列，∴，，

∴，

∴，∴是等差數列，

當時，則必有，∴，

∴是一個單調遞減數列，∴，，

∴，

∴.∴是等差數列，

當時，，

∵，中必有一個為0，

根據上式，一個為0，為一個必為0，

∴，，

∴數列是常數數列，則數列是等差數列.

綜上，若數列是等差數列，則數列也是等差數列.