Question

【題目】已知動直線與橢圓交于、兩個不同點，且的面積，其中為坐標原點．

（1）證明和均為定值；

（2）設線段的中點為，求的最大值；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可得出，，根據的面積求得、的值，可得出和的值；在直線的斜率存在時，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可求得和的值，進而得出結論；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可直接求得的值；在直線的斜率存在時，求得、關于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，進而可得出結論.

（1）當直線的斜率不存在時，、兩點關于軸對稱，所以，，

在橢圓上，①，又，②

由①②得，．此時，；

當直線的斜率存在時，是直線的方程為，

將直線的方程代入得，

，即，

由韋達定理得，，

，

點O到直線的距離為，

，

又，整理得，

此時，

，

綜上所述，，結論成立；

（2）當直線的斜率不存在時，由（1）知，，因此；

當直線的斜率存在時，由（1）知，，

，

，

所以，．

當且僅當，即時，等號成立．

綜上所述，的最大值為.