Question

【題目】已知函數

（I）討論的單調性；

（II）當，是否存在實數，使得，都有？若存在求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）當，在為增函數；當，在為增函數，在為減函數； （II） .

【解析】

（I）先求得函數的定義域，對其求導后對分成兩類，討論函數的單調區間.（II）將不等式等價轉化為恒成立，構造函數，利用其導數恒為非負數列不等式，分離常數后利用基本不等式求得的取值范圍.

（I） 的定義域為

，

當，則，在為增函數，

，令，解得或（舍去），

所以，當 ，，在為增函數；

當 ，，在為減函數，

綜上所述，當，在為增函數；

當，在為增函數，在為減函數。

（II）不妨設，則，

假設存在實數，使得 ，都有，

則恒成立，

即恒成立，（*）

設，即（*）等價于在為單調遞增

等價于在恒成立，

等價于在恒成立，

等價于在恒成立，

∴，當且僅當取等號，

∴，∴的取值范圍為