Question

給定一個n項的實數列a1，a2，…，an(n∈N*)，任意選取一個實數c，變換T（c）將數列a₁，a₂，…，a_n變換為數列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再將得到的數列繼續實施這樣的變換，這樣的變換可以連續進行多次，并且每次所選擇的實數c可以不相同，第k（k∈N^*）次變換記為T_k（c_k），其中c_k為第k次變換時選擇的實數．如果通過k次變換后，數列中的各項均為0，則稱T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）為“k次歸零變換”
（Ⅰ）對數列：1，2，4，8，分別寫出經變換T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的數列；
（Ⅱ）對數列：1，3，5，7，給出一個“k次歸零變換”，其中k≤4；
（Ⅲ）證明：對任意n項數列，都存在“n次歸零變換”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據新定義，可計算經變換T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的數列；
（Ⅱ）根據新定義，計算經變換T₁（4）；T₂（2）；T₃（1），或T₁（2）；T₂（2）；T₃（2）；T₄（1），可得結論；
（Ⅲ）記經過T_k（c_k）變換后，數列為

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

．取c1=

1

2

(a1+a2)，c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，繼續做類似的變換，取ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，（k≤n-1），經T_k（c_k）后，得到數列的前k+1項相等，再取cn=

a

(n-1) n

，經T_n（c_n）后，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：T₁（2）：1，0，2，6；T₂（3）：2，3，1，3；T₃（4）：2，1，3，1．…（3分）
（Ⅱ）解：方法1：T₁（4）：3，1，1，3；T₂（2）：1，1，1，1；T₃（1）：0，0，0，0．
方法2：T₁（2）：1，1，3，5；T₂（2）：1，1，1，3；T₃（2）：1，1，1，1；T₄（1）：0，0，0，0．
…（6分）
（Ⅲ）證明：記經過T_k（c_k）變換后，數列為

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

．
取c1=

1

2

(a1+a2)，則

a

(1) 1

=

a

(1) 2

=

1

2

|a1-a2|，即經T₁（c₁）后，前兩項相等；
取c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，則

a

(2) 1

=

a

(2) 2

=

a

(2) 3

=

1

2

|

a

(1) 2

-

a

(1) 3

|，即經T₂（c₂）后，前3項相等；
繼續做類似的變換，取ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，（k≤n-1），經T_k（c_k）后，得到數列的前k+1項相等．特別地，當k=n-1時，各項都相等，最后，取cn=

a

(n-1) n

，經T_n（c_n）后，數列各項均為0．所以必存在n次“歸零變換”．  …（13分）

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的探究能力，難度較大．