Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的長為2，寬為1， ， 邊分別在軸、軸的正半軸上， 點與坐標原點重合，將矩形折疊，使點落在線段上，設此點為.

（1）若折痕的斜率為-1，求折痕所在的直線的方程；

（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數），試用表示點的坐標，并求折痕所在的直線的方程；

（3）當時，求折痕長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) .

【解析】試題分析：（1）若折痕的斜率為時，由于點落在線段上，可得折痕必過點，即可得出；（2）當時，此時點與點重合，折痕所在的直線方程，當時，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，可知與關于折痕所在的直線對稱，有，故點坐標為，從而折痕所在的直線與的交點坐標即線段的中點為，即可得出；（3）當時，折痕為2，當時，折痕所在直線交于點，交軸于，利用兩點之間的距離公式、二次函數的單調性即可得出．

試題解析：（1）∵折痕的斜率為時， 點落在線段上

∴折痕必過點

∴直線方程為

（2）①當時，此時點與點重合，折痕所在的直線方程.

②當時，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，

則與關于折痕所在的直線對稱，有，即．

∴點坐標為

從而折痕所在的直線與的交點坐標即線段的中點為，折痕所在的直線方程，即．

綜上所述，由①②得折痕所在的直線方程為： ．

（3）當時，折痕長為2．

當時，折痕所在直線交于點，交軸于．

∵，

∴折痕長的最大值為.

∴綜上所述，折痕長度的最大值為