Question

【題目】如圖（1）五邊形中，

,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析: （1）根據已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據面面垂直的判定定理證得成立; （2）通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據線面角公式代入坐標求得結果.

試題解析:（1）證明：取的中點，連接，則，

又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，

又平面，

∴平面，

∴.

由即及為的中點，可得為等邊三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

（2）解：

，∴為直線與所成的角，

由（1）可得，∴，∴，

設，則，

取的中點，連接，過作的平行線，

可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

∴，

所以，

設為平面的法向量，則，即，

取，則為平面的一個法向量，

∵，

則直線與平面所成角的正弦值為.

點睛: 判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．②利用判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直．