Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設軸上存在點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段的中點為，根據韋達定理求出點的坐標，再根據，，即可求出的值，可得點的坐標.

（1）面積的最大值為，則：

又，，解得：，

橢圓的方程為：

（2）假設軸上存在點，是以為直角頂點的等腰直角三角形

設，，線段的中點為

由，消去可得：

，解得：

∴，

，

依題意有，

由可得：，可得：

由可得：

，

代入上式化簡可得：

則：，解得：

當時，點滿足題意；當時，點滿足題意

故軸上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形