Question

【題目】若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)

，其中，、為常數(shù)。

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得既是的不動(dòng)點(diǎn)，又是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）證明：不存在實(shí)數(shù)組，使得互異的兩個(gè)極值點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）若，則.

故.

當(dāng)時(shí)，顯然，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，由，知或.

綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由題意知

故，即.

解得.從而，.

（3）假設(shè)存在一組實(shí)數(shù)滿足條件.

由條件知.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以，. ①

設(shè)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為、 .

則、是方程的兩個(gè)實(shí)根.

故，.

又由、是的不動(dòng)點(diǎn)，知、是方程的兩根，設(shè)其另一個(gè)根為.由韋達(dá)定理知

于是，.從而，.

又 ，

即.

故，即.

令.則.

因此，在上嚴(yán)格單增.

從而，至多有一個(gè)實(shí)根.

又，，則至少有一個(gè)實(shí)根.

所以，恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

由式①、②知，即，與矛盾.

綜上，不存在實(shí)數(shù)組，使得互異的兩個(gè)極值點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn).