Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)坐標(biāo)都伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到曲線，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】(1)，；(2).

【解析】試題分析：(1)根究極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到直線的直角坐標(biāo)方程，利用曲線的變換，在消去參數(shù)，即可得到曲線直角坐標(biāo)方程；

(2)由點(diǎn)在曲線上,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可得到結(jié)論.

試題解析：

(1)因?yàn)橹本�的極坐標(biāo)方程為,所以有

，即直線的直角坐標(biāo)方程為:

因?yàn)榍�線的的參數(shù)方程為(為參數(shù)),經(jīng)過(guò)變換后為(為參數(shù))

所以化為直角坐標(biāo)方程為:

(2)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

從而點(diǎn)到直線的距離為

由此得,當(dāng)時(shí),取得最大值,且最大值為