Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數），直線 （為參數， ），直線與曲線相切于點，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程及點的極坐標；

（2）曲線的直角坐標方程為，直線的極坐標方程為，直線與曲線交于在，兩點，記的面積為，的面積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；點的極坐標為；（2）16.

【解析】

（1）直接利用消去參數法，將參數方程轉化為直角坐標方程，再利用互化公式，將直角坐標方程轉換為極坐標方程，即可求出曲線和直線的極坐標方程，聯立方程組，通過求出，從而可求出點的極坐標；

（2）利用互化公式求出的極坐標方程，設，，將代入的極坐標方程，根據韋達定理求出，，進而求出和，從而可求出的值.

解：（1）已知曲線為參數），

消去參數，可得曲線的直角坐標方程為，

將代入得的極坐標方程為，

由于直線為參數，，

可得的極坐標方程為（），

由于直線與曲線相切于點，

將代入曲線，得，

則，得，

又，所以，則，

此時，所以點的極坐標為.

（2）由于的直角坐標方程為，則圓心，

則的極坐標方程為：，

設，，

將代入的極坐標方程，

得，，

所以，，所以，，

又因為，

，

所以.