Question

已知直線與橢圓相交于、兩點，是線段上的一點，，且點M在直線上，（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

Answer 1

（本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、對稱問題等知識，考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）

解：設、兩點的坐標分別為

（ I）由知是的中點，     ………………1分

 由  得： …………………4分

     …………5分

點的坐標為

又點在直線上：           …6分

  

                        ……7分

（II）由（1）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為，

設

關于直線 的對稱點為，………………8分

則有  

解得：       ……………11分

由已知， 

， 

.     ………13分

所求的橢圓的方程為       ……………14分