Question

【題目】某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2 ．

（1）證明：直線B1D1⊥平面ACC2A2；
（2）現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的側面是全等的矩形，

∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，

∴AA2⊥平面ABCD．連接BD，

∵BD平面ABCD，

∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，根據棱臺的定義可知，BD與B1D1共面，

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，

∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，

∴B1D1⊥平面ACC2A2

（2）解：∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形，側面是全等的矩形，

∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱側面

= +4ABAA2

=102+4×10×30

=1300（cm2）

又∵四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，

∴S2=S四棱柱下底面+S四棱臺側面

= +4× （AB+A1B1）h等腰梯形的高

=202+4× （10+20）

=1120（cm2），

于是該實心零部件的表面積S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），

故所需加工處理費0.2S=0.2×2420=484元．

【解析】（1）依題意易證AC⊥B1D1 ， AA2⊥B1D1 ， 由線面垂直的判定定理可證直線B1D1⊥平面ACC2A2；（2）需計算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面積（除去下底面的面積）S1 ， 四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD的表面積（除去下底面的面積）S2即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．