Question

有下列命題：
①設集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；
②“|

a

+

b

|＜1”是“|

a

|+|

b

|＜1”的必要不充分條件；
③“a=1”是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件；
④命題P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定?P：“?x∈R，x²-x-1≤0”．
則上述命題中為真命題的是（　　）

A．①②③④

B．①③④

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：①由集合M={x|0＜x≤3}?N={x|0＜x≤2}，則a∈N⇒a∈M，但a∈M時，如a∉N不一定成立，可判斷①
②由|

a

+

b

|≤|

a

|+|

b

|，可判斷②
③若a=1，則直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直；但直線x-ay=0與x+ay=0垂直，則a²-1=0，可判斷故③
④個根據特稱命題命題P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定是全稱命題可判斷④

解答：解：①由于集合M={x|0＜x≤3}?N={x|0＜x≤2}，則a∈N⇒a∈M，但a∈M時，如a=3∉N，從而可得“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分條件，故①錯誤
②由于|

a

+

b

|≤|

a

|+|

b

|，
若|

a

|+|

b

|＜1，則|

a

|+|

b

|＜1不一定成立；若|

a

|+|

b

|＜1，則|

a

+

b

|＜1一定成立，即|

a

+

b

|＜1是|

a

|+|

b

|＜1的必要不充分條件，故②正確
③若a=1，則直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直；若直線x-ay=0與x+ay=0垂直，則a²-1=0即a=±1，故③錯誤
④命題P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定?P：“?x∈R，x²-x-1≤0”．故④正確
故選C

點評：本題主要考查了命題的真假判斷，解題的關鍵是熟練掌握基本知識并能靈活應用，解答此類試題，對考試的知識的掌握的要求較高