Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點（0，1），離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′．
①求△AOB的面積的最大值（O為坐標原點）；
②“當m變化時，直線A′B與x軸交于一個定點”．你認為此推斷是否正確？若正確，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2））①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．方程聯立得到根與系數的關系，利用S_△AOB=

1

2

|OT|•|y1-y2|=

2 m2+3

4+m2

．
令t=

m2+3

，則t≥

3

且S△AOB=

2t

1+t2

=

2

t+ 1 t

，再利用t+

1

t

在[

3

，+∞)單調遞增，即可得出△AOB有最小值．
②A′（x₁，-y₁）．直線A′B的方程為：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

代入根與系數的關系即可得出．

解答：解：（1）由題意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b=1，c=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（4+m²）y²+2my-3=0，
∴y1+y2=-

2m

4+m2

，y1y2=

-3

4+m2

．
∴S_△AOB=

1

2

|OT|•|y1-y2|=

2 m2+3

4+m2

．
令t=

m2+3

，則t≥

3

且S△AOB=

2t

1+t2

=

2

t+ 1 t

，
∵t+

1

t

在[

3

，+∞)單調遞增，∴當t=

3

時，△AOB有最小值

3

2

．
②A′（x₁，-y₁）．直線A′B的方程為：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

(my1+1)y2+(my2+1)y1

y1+y2

=

2my1y2

y1+y2

+1=4為定值．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、三角形的面積公式、函數的單調性等是解題的關鍵．