Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C的離心率為，且橢圓C過點.

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；定點坐標為

【解析】

(1) 由題意結合離心率首先確定的關系,然后結合橢圓經過的點即可確定橢圓方程；

(2) 把直線的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系,再利用以為直徑的圓過橢圓的右頂點D,可得,即可得出與的關系,從而得出答案.

解：(1)由題意設橢圓的標準方程為（），,橢圓C過點,,解得

∴橢圓的標準方程為.

（2）設，，直線代入橢圓方程得

得，

，即，則

,.

又，

因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，

∴，即，∴，

∴，∴.

解得，，且均滿足，

當時，l的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時，l的方程為，直線過定點.

所以，直線l過定點，定點坐標為.