Question

【題目】某單位生產A、B兩種產品，需要資金和場地，生產每噸A種產品和生產每噸B種產品所需資金和場地的數據如表所示：

資源 產品	資金（萬元）	場地（平方米）
A	2	100
B	35	50

現有資金12萬元，場地400平方米，生產每噸A種產品可獲利潤3萬元；生產每噸B種產品可獲利潤2萬元，分別用x，y表示計劃生產A、B兩種產品的噸數．
（1）用x，y列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（2）問A、B兩種產品應各生產多少噸，才能產生最大的利潤？并求出此最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，x，y滿足的數學關系式為： 即

該二元一次不等式組所表示的平面區域為下圖的陰影部分：

（2）解：設利潤為z萬元，則目標函數為z=3x+2y．

將其變形為 ，這是斜率為 ，隨z變化的一族平行直線， 為直線在y軸上的截距，當 取最大值時，z的值最大．

因為x，y滿足約束條件，

所以當直線z=3x+2y經過可行域上的點M時，截距 最大，即z最大，

解方程組 得點M的坐標（3，2），

∴zmax=3×3+2×2=13．

答：生產A種產品3噸、B種產品2噸時，利潤最大為13萬元．

【解析】（1）利用已知條件直接列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；（2）寫出目標函數，利用線性規劃的知識，求解目標函數的最值即可．