Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

（1）寫出曲線的參數(shù)方程，并求出點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線與曲線的交點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)為，求線段長度.

Answer 1

【答案】（1）（為參數(shù)）；；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)圓的直角坐標(biāo)方程寫出曲線的參數(shù)方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用消參法求出點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）將的參數(shù)方程為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解.

（1）的參數(shù)方程為為參數(shù)）.

設(shè)，所以，即的參數(shù)方程為為參數(shù)），化簡為直角坐標(biāo)方程為.

所以點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為.

（2）直線的直角坐標(biāo)方程為，易知直線過點(diǎn)，

設(shè)的參數(shù)方程為參數(shù)），將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，

設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，

所以，

所以.