Question

設不等式組

x≥1 x-2y+3≥0 y≥x

所表示的平面區域是Ω₁，平面區域是Ω₂與Ω₁關于直線3x-4y-9=0對稱，對于Ω₁中的任一點A與Ω₂中的任一點B，AB的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據已知的約束條件

x≥1 x-2y+3≥0 y≥x

畫出滿足約束條件的可行域Ω₁，根據對稱的性質，不難得到：當A點距對稱軸的距離最近時，|AB|有最小值．

解答：解：作出不等式組對應的平面區域Ω₁，（陰影部分CDE），
∵平面區域是Ω₂與Ω₁關于直線3x-4y-9=0對稱，
∴要使AB的距離最小，則只需點A到直線3x-4y-9=0的距離最小即可，
由圖象可知當點A位于點E時，A到直線3x-4y-9=0的距離最小，
由

x=1 y=x

，解得

x=1 y=1

，即E（1，1），
此時E到直線3x-4y-9=0的距離d=

|3-4-9|

32+42

=

10

5

=2，
∴AB的最小值為2d=2×2=4，
故答案為：4．

點評：利用線性規劃解平面上任意兩點的距離的最值，關鍵是要根據已知的約束條件，畫出滿足約束約束條件的可行域，再去分析圖形，根據圖形的性質、對稱的性質等找出滿足條件的點的坐標，代入計算，即可求解．