Question

（2012•朝陽區二模）一個袋子中裝有大小形狀完全相同的編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球與編號為1，2，3，4的4個白球，從中任意取出3個球．
（Ⅰ）求取出的3個球顏色相同且編號是三個連續整數的概率；
（Ⅱ）求取出的3個球中恰有2個球編號相同的概率；
（Ⅲ）記X為取出的3個球中編號的最大值，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設“取出的3個球顏色相同且編號是三個連續整數”為事件A，由此能求出取出的3個球的編號恰好是3個連續的整數，且顏色相同的概率．
（Ⅱ）設“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B，由此能求出取出的3個球中恰有兩個球編號相同的概率．
（Ⅲ）X的取值為2，3，4，5，分別求出P（X=2），P（X=3），P（X=4），P（X=5）的值，由此能求出X的分布列和X的數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設“取出的3個球顏色相同且編號是三個連續整數”為事件A，則
P（A）=

3+2

C 3 9

=

5

84

．
答：取出的3個球的編號恰好是3個連續的整數，且顏色相同的概率為

5

84

．
（Ⅱ）設“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B，則
P（B）=

C 1 4 C 1 7

C 3 9

=

1

3

．
答：取出的3個球中恰有兩個球編號相同的概率為

1

3

．
（Ⅲ）X的取值為2，3，4，5．
P（X=2）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 9

=

1

21

，
P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 +C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

4

21

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 6 + C 2 2 C 1 6

C 3 9

=

3

7

，
P（X=5）=

C 1 1 C 2 8

C 3 9

=

1

3

．
所以X的分布列為

X	2	3	4	5
P	1 21	4 21	3 7	1 3

X的數學期望EX=2×

1

21

+3×

4

21

+4×

3

7

+5×

1

3

=

85

21

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．