Question

（本小題滿分12分）
已知平行六面體的底面為正方形，分別為上、下底面的中心，且在底面的射影是。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點分別在棱上上，且，問點在何處時，；
（Ⅲ）若，求二面角的大小（用反三角函數表示）。

Answer 1

（Ⅰ）連，則為的交點，為AC，的交點。
由平行六面體的性質知：且 四邊形為平行四邊形，K]
 
又平面平面
又平面  
平面平面
（Ⅱ）作平面，垂足為，
則，點在直線上，
且EF在平面ABCD上的射影 為。
由三垂線定理及其逆定理，知
，，從而又
從而 當為的三等分點（靠近B）時，有
（III）過點作，垂足為，連接。
平面ABCD，
又 平面。由三垂線定理得
為二面角的平面角。
在中， ，
又   
二面角的大小為

解析