Question

若關于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0有解，則實數a的取值范圍是

{a|a≤-8}

．

Answer 1

分析：令3^x=t＞0由條件可得a=

t2+4t+4

-t

=-4-（t+

4

t

），利用基本不等式和不等式的性質求得實數a的取值范圍．

解答：解：令3^x=t＞0，則關于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正實數解．
故 a=

t2+4t+4

-t

=-4-（t+

4

t

），
由基本不等式可得 t+

4

t

≥4，當且僅當t=

4

t

時，等號成立，故-（t+

4

t

）≤-4，故-4-（t+

4

t

）≤-8，
即a≤-8，
故答案為 {a|a≤-8}．

點評：本題考查方程有解問題、基本不等式求最值問題，同時考查轉化思想和換元法，屬于中檔題．