Question

【題目】已知函數．

（1）若函數有兩個零點，證明：；

（2）設函數的兩個零點為，．證明：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）參變分離可得，構造函數，判斷的單調性及圖象特征，使與直線有兩個交點，即滿足題意，從而可證明結論；

（2）易知，，兩式相減得，要證，即證，進而可將問題轉化為證明，令，則，即證，進而構造函數，只需證明即可.

（1）證明：由，可得，

令，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以．

又因為當時，；

當時，，且當時，；

所以有兩個零點時，．

（2）由題意知，，，

兩式相減得：，

則．

要證，即證，

只需證，

即證.

令，則，即證，

令，則，令，則，

所以在上單調遞增，，即，

所以在上單調遞增，

所以，即，

所以，

故成立.