【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調區間；
（2）若
是曲線
上的兩點，
.問: 是否存在
,使得直線
的斜率等于
？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) 
.
【解析】
試題（1）求導后利用判別式和函數圖像與
軸的交點，分類討論函數的單調區間；（2）先假設存在
使得直線
的斜率等于
，利用公式將此化為
，整理這個式子，得到等式
.當時，顯然成立，當
時，利用換元法，令
，可將等式化為
，構造函數
，利用導數判斷出
，即原方程無解，所以.
試題解析：(1)
.令
，則
.
當
，即
時，
對
恒成立，
的增區間為
，無減區間；當
，即
時，若
，則解得
，此時函數
的增區間為
和
，減區間為
；當
時，
，此時的減區間為
，增區間為.
(2)若函數圖象上存在兩點
使得
，即
，所以
① 當
時，
對任意的
，且
都成立； ②當
時，有
，設
，則
，記函數
，則
.
所以當
時，
，所以函數
在區間
上單調遞增.又因為
，所以當時，
，即方程在區間上無解，綜上，存在實數，滿足題意.
導學全程練創優訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面推理是類比推理的是（ ）
A.兩條直線平行，則同旁內角互補，若
和
是同旁內角，則
B.某校高二有20個班，1班有51位團員，2班有53位團員，3班有52位團員，由此推測各班都超過50位團員
C.由平面三角形的面積
（其中
是三角形的周長，
是三角形內切圓的半徑），推測空間中三棱錐的體積
（其中
是三棱錐的表面積，是三棱錐內切球的半徑）
D.一切偶數能被2整除，
是偶數，故能被2整數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個生產公司投資A生產線500萬元，每萬元可創造利潤
萬元，該公司通過引進先進技術，在生產線A投資減少了x萬元，且每萬元的利潤提高了
；若將少用的x萬元全部投入B生產線，每萬元創造的利潤為
萬元，其中
．
若技術改進后A生產線的利潤不低于原來A生產線的利潤，求x的取值范圍；
若生產線B的利潤始終不高于技術改進后生產線A的利潤，求a的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人。為了研究學生的數學成績是否與性別有關，采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，統計了他們期中考試的數學分數，然后按照性別分為男、女兩組，再將兩組的分數分成5組： 
分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（I）從樣本分數小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰為一男一女的概率；
（II）若規定分數不小于130分的學生為“數學尖子生”，請你根據已知條件完成2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”?
附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修
：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(
為參數)，以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線
的極坐標方程為
．
(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程；
(2)設點
在上，點
在上，求
的最小值及此時點的直角坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為： 
，直線
的參數方程是
（
為參數， 
）．
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設直線
與曲線
交于兩點
，且線段
的中點為
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年8月8日是我國第十個全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來.某市為了解全民健身情況，隨機從某小區居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：
，
，
，
，
，
，
后得到年齡如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試求這40人年齡的眾數、中位數的估計值；
（2）（i）若從樣本中年齡在
的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡低于60歲的概率；
（ii）己知該小區年齡在
內的總人數為1200，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計該小區年齡不超過80歲的成年人人數.
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