Question

【題目】已知直線與拋物線交于P，Q兩點，且的面積為16（O為坐標原點）．

（1）求C的方程.

（2）直線l經過C的焦點F且l不與x軸垂直；l與C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點D，試問在x軸上是否存在點E，使為定值？若存在，求該定值及E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點E，且E的坐標為

【解析】

（1）由的面積為16，得到，故得解;

（2）設直線l的方程為，聯立得到韋達定理，得到，表示線段AB的垂直平分線的方程，得到，分析即得解.

（1）將代入，得，

所以的面積為．

因為，所以，

故C的方程為．

（2）由題意設直線l的方程為，

由，得．

設，則，

所以，

因為線段AB的中點的橫坐標為，縱坐標為，

所以線段AB的垂直平分線的方程為，

令，得，所以D的橫坐標為，

設，則，

當且僅當，即時，為定值，且定值為2，

故存在點E，且E的坐標為．