Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，、、分別是線段、、的中點，，，在線段上運動，設.

（1）證明：；

（2）是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，在上，且

【解析】

（1）推導出，，由線面垂直的判定定理，得到面，由此證得；

（2）以為坐標原點，分別以的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求得存在點P，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.

（1）在中，，得

同理可得，所以，

得，又，

由線面垂直的判定定理，可得面，

又由面，所以.

（2）由(Ⅰ)可得，不妨設，，

以為坐標原點，分別以的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，

則

，

故

設平面的法向量為

所以，

令，則，，得，

取平面的一個法向量為，

假設存在點滿足題意，

則，

化簡得，解得或，

又由，所以，

綜上，存在點，使得平面與平面的夾角為.