Question

【題目】已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ）， =（﹣1，0）．
（1）求向量 的長度的最大值；
（2）設α= ，且 ⊥（ ），求cosβ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cosβ﹣1，sinβ），則

| |2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．

∵﹣1≤cosβ≤1，

∴0≤| |2≤4，即0≤| |≤2．

當cosβ=﹣1時，有|b+c|=2，

所以向量 的長度的最大值為2．

（2）解：由（1）可得 =（cosβ﹣1，sinβ），

（ ）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．

∵ ⊥（ ），

∴ （ ）=0，即cos（α﹣β）=cosα．

由α= ，得cos（ ﹣β）=cos ，

即β﹣ =2kπ± （k∈Z），

∴β=2kπ+ 或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1

【解析】（1）利用向量的運算法則求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出| |的平方，利用三角函數的平方關系將其化簡，利用三角函數的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數量積判斷兩個平面向量的垂直關系的相關知識，掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．