Question

【題目】已知定義域為的單調函數是奇函數,當時,.

（1）求的解析式.

（2）若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）時利用可求的解析式，再利用奇偶性考慮與的關系，即可求出時的解析式，要注意時的情況；

（2）先分析單調性，因為題設已告訴函數單調，故取值直接比較即可；然后利用是奇函數對不等式進行變形，轉變為兩個函數值的大小關系，根據單調性可去掉函數符號變為自變量間的大小關系，最后化為關于的不等式恒成立的問題去處理.

(1) 當時, ，

∴，

又函數是奇函數，

∴，

∴．

又．

綜上所述 ．

（2）∵為上的單調函數，且，

∴函數在上單調遞減．

∵，

∴，

∵函數是奇函數，

∴．

又在上單調遞減，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

∴，

解得．

∴實數的取值范圍為．