Question

已知函數y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀稱為函數f（x）的不動點；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），則稱{a_n} 為由函數f（x）導出的數列．
設函數g（x）=

4x+2

x+3

，h（x）=

ax+b

cx+d

(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函數g（x）的不動點x₁，x₂；
（2）設a₁=3，{a_n} 是由函數g（x）導出的數列，對（1）中的兩個不動點x₁，x₂（不妨設x₁＜x₂），數列求證{

an-x1

an-x2

}是等比數列，并求

lim

n→∞

an；
（3）試探究由函數h（x）導出的數列{b_n}，（其中b₁=p）為周期數列的充要條件．
注：已知數列{b_n}，若存在正整數T，對一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，則稱數列{b_n} 為周期數列，T是它的一個周期．

Answer 1

分析：（1）直接解方程

4x+2

x+3

=x，求出對應的自變量的值即可；
（2）直接把上面的結論代入并設cn=

an+1

an-2

，求出c_n+1的表達式即可證明求證{

an-x1

an-x2

}是等比數列；進而求出{a_n} 的通項公式，即可求

lim

n→∞

an；
（3）先利用h（x）=

ax+b

cx+d

=x，得方程有兩個不相等的實數根x₁，x₂；再求出{

bn-x1

bn-x2

}是等比數列，首項為

p-x1

p-x2

，公比為

cx2+d

cx1+d

；即可找到由函數h（x）導出的數列{b_n}（其中b₁=p）為周期數列的充要條件．

解答：解：（1）

4x+2

x+3

=x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函數g（x）的不動點為x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）=

4an+2

an+3

，設c_n=

an+1

an-2

，
則c_n+1=

an+1+1

an+1-2

=

5an+5

2an-4

=

5

2

an+1

an-2

=

5

2

c_n，c₁=

a1+1

a1-2

=4．
所以數列{

an+1

an-2

}是等比數列，公比為

5

2

，首項為4．

an+1

an-2

=4•(

5

2

)n-1得a_n=

8•5n-1+2n-1

4•5n-1-2n-1

．

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

8•5n-1+2n-1

4•5n-1-2n-1

=

lim

n→∞

8+( 2 5 )n-1

4-( 2 5 )n-1

=2．
（3）：h（x）=

ax+b

cx+d

=x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因為△=（d-a）²+4ac＞0，所以該方程有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）=

abn+b

cbn+d

，

bn+1-x1

bn+1-x2

=

abn+b cbn+d - ax1+b cx1+d

abn+b cbn+d - ax2+b cx2+d

=

cx2+d

cx1+d

•

bn-x1

bn-x2

，
則{

bn-x1

bn-x2

}是等比數列，首項為

p-x1

p-x2

，公比為

cx2+d

cx1+d

．
因為

bn-x1

bn-x2

=

p-x1

p-x2

（

cx2+d

cx1+d

）^n-1，所以

bn+T-x1

bn+T-x2

=

p-x1

p-x2

（

cx2+d

cx1+d

）^n+T-1．
數列{b_n}為周期數列的充要條件是（

cx2+d

cx1+d

）^n-1=（

cx2+d

cx1+d

）^n+T-1，即（

cx2+d

cx1+d

）^T=1．
故|

cx2+d

cx1+d

|=1，但x₁≠x₂，從而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=-

2d

c

=-

d-a

c

，
故d=-a．

點評：本題主要考查數列知識和函數知識，屬于難題．基礎較弱的學生建議只做第一，第二問．