Question

【題目】函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，當(dāng)時，

（1）求的值和函數(shù)的表達式；

（2）求方程在上的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）； （2）方程在上有3個零點.

【解析】

（1）利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解．利用函數(shù)的奇偶性，求解函數(shù)解析式即可．
（2）因為f（2）=log22+2-3=0，所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有解x=2，又方程f（x）=0可化為log2x=3-x，設(shè)函數(shù)g（x）=log2x，h（x）=3-x，證明方程g（x）=h（x）在區(qū)間（0，+∞）上只有一個解即可．又函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以方程在區(qū)間上有解，且，所以方程在上有3個零點.

（1）由題知，函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，

所以，即.（2分）

又函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以.（3分）

當(dāng)時，所以，

所以，即.

所以;

（2）易知在區(qū)間上為增函數(shù)，

因為由零點存在定理，可知方程上有唯一解.

又函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以方程在區(qū)間上有解，

且，所以方程在上有3個零點.