Question

已知函數m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）當x＞0時，F（x）=m（x）．若F（x）為R上的奇函數，求x＜0時F（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函數，求k的值；
（3）對（2）中的函數f（x），設函數g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a），其中a＞0．若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的性質F（x）=-F（-x）即可得出；
（2）利用偶函數的性質f（-x）=f（x）即可得出k．
（3）由于a＞0，可得g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定義域為（log₂

4

3

，+∞），也就是滿足2^x＞

4

3

．由于函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點．可知：方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．通過換元：
令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價于關于t的方程（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．再通過分類討論即可得出．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵F（x）為R上的奇函數，
∴F（x）=-F（-x）=-log₂（4^-x+1），
∴x＜0時，F（x）=-log₂（4^-x+1）； 
（2）∵f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數，
∴f（-x）=f（x）對任意x∈R恒成立，
即log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
∴-2x-2kx=0恒成立，
∴k=-1．                  
（3）∵a＞0，∴g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定義域為（log₂

4

3

，+∞），
也就是滿足2^x＞

4

3

．
∵函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，
即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．  
令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價于關于t的方程
（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．
①當a=1時，解得t=-

3

4

∉（

4

3

，+∞），不合題意；
②當0＜a＜1時，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＜0．
∴函數h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）無解．
③當a＞1時，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＞0，
∴只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此式恒成立．
綜上所述，所求a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、指數函數與對數函數的互化、換元法、二次函數的性質、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了計算能力和推理能力，屬于難題．