Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）已知，記（且），是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）若數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，均有成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)和項與通項關系得，再根據(jù)等比數(shù)列定義與通項公式求解（2）先化簡，再根據(jù)恒成立思想求的值（3）根據(jù)和項得，再作差得，最后根據(jù)等差數(shù)列定義證明.

（1），所以，

由得時，，

兩式相減得，，，

數(shù)列是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，所以.

（2）若數(shù)列是常數(shù)列，

為常數(shù).

只有，解得，

此時.

（3）①

，，其中，所以，

當時，②

②式兩邊同時乘以得，③

①式減去③得，，所以，

因為，

所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列.