Question

【題目】設函數．

（1）當時，在上恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，若函數在上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；

（3）是否存在常數，使函數和函數在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先將問題轉化為在上恒成立，然后令，從而通過求導研究函數的單調性，求得其最小值，進而求得的取值范圍；（2）首先將問題轉化為在上恰有兩個不同的零點，然后令，從而通過求導研究函數的單調性，求得其最小值，進而求得的取值范圍；（3）首先分別求得函數和函數的單調區間，然后根據與具有相同的單調性建立關于的不等式組，由此求得的值．

試題解析：（1）當時，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

當，∴在上為減函數，在上為增函數，

∴，∴實數的取值范圍為；

（2）當時，函數，

在上恰有兩個不同的零點，即在上恰有兩個不同的零點，

令，則，

當，；當，，

∴在上單減，在上單增，，

又，如圖所示，所以實數的取值范圍為．

（3）函數和函數在公共定義域為，

∴在單調遞減，在上單調遞增，

函數，

時，恒成立，在上單調遞增，不合題意，

時，當時，當時，，

在上單調遞減，在上為單調遞增，

要使與具有相同的單調性，須，解得．

存在常數時，使與具有相同的單調性．