Question

【題目】已知函數，其中．

（1）①求函數的單調區間；

②若滿足，且．求證： ．

（2）函數．若對任意，都有，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①單調遞增區間，，單調遞減區間；②詳見解析；（2）.

【解析】

(1)①求導可得,再分別求解與的解集,結合定義域分析函數的單調區間即可.

②根據(1)中的結論,求出的表達式,再分與兩種情況,結合函數的單調性分析的范圍即可.

(2)求導分析的單調性,再結合單調性,設去絕對值化簡可得,再構造函數,,根據函數的單調性與恒成立問題可知,再換元表達求解最大值即可.

解：,

由可得或,

由可得,

故函數的單調遞增區間,,單調遞減區間；

,

或,

若,因為,故,,

由知在上單調遞增,,

若由可得x1,

因為,

所以,

由在上單調遞增,

綜上．

時,,在上單調遞減,

不妨設

由(1)在上單調遞減,

由,

可得,

所以,

令,,

可得單調遞減,

所以在上恒成立,

即在上恒成立,即,

所以, ,

所以的最大值．