Question

【題目】已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.

（1）求點G的軌跡方程；

（2）當點G的橫坐標為整數時，S是否為整數？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當G點橫坐標為整數時，S不是整數．

【解析】

（1）先求解導數，得出切線方程，聯立方程得出交點G的軌跡方程；

（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數進行判斷.

（1）設，則，

拋物線C的方程可化為，則，

所以曲線C在點A處的切線方程為，

在點B處的切線方程為，

因為兩切線均過點G，所以，

所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，

又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；

（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，

即，

將直線AB的方程與拋物線聯立，，整理得，

所以，，解得，

因為直線AB的斜率，所以，

且，

線段AB的中點為M，

所以直線EM的方程為：，

所以E點坐標為(0，)，

直線AB的方程整理得，

則G到AB的距離，

則E到AB的距離，

所以，

設，因為p是質數，且為整數，所以或，

當時，，是無理數，不符題意，

當時，，

因為當時，，即是無理數，所以不符題意，

當時，是無理數，不符題意，

綜上，當G點橫坐標為整數時，S不是整數．