已知橢圓
過點
，且離心率為
.斜率為
的直線
與橢圓
交于A、B兩點，以
為底邊作等腰三角形，頂點為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△
的面積．
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）要求橢圓標準方程，就是要求得
，因此我們要尋找關于
的兩個等式，本題中有離心率
，是一個等式，另一個是橢圓過點
，即
，再結合
可解得
，得到標準方程；（2）要求△的面積，應該先確定
位置，也即確定直線，我們可以設的方程為
，條件
是以為底邊的等腰三角形怎么應用？這個條件用得較多的是其性質，三線合一，即取的中點
，則有
，我們就用這個來求出參數
的值，方法是設
，的中點為
，把直線方程代入橢圓方程，可得
，從而求出
用表示，再由可很快求得，以后就可得到點
的坐標，求出面積.
試題解析：（1）由已知得
. 1分
解得
.又
，所以橢圓G的方程為. 4分
（2）設直線l的方程為.
由
得
. ① 6分
設A、B的坐標分別為
AB中點為E
，
則
. 8分
因為AB是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率
，解得m=2. 10分
此時方程①為
，解得
，
所以
，所以|AB|=
.
此時，點P（－3，2）到直線AB：
的距離
，
所以△的面積S=
. 12分
考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓相交綜合問題(相交弦長，點到直線距離，三角形面積等).
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，其短軸兩端點為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
是橢圓
上關于
軸對稱的兩個不同點，直線
與
軸分別交于點
.判斷以
為直徑的圓是否過點
，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的左、右焦點分別
為
，其上頂點為
已知
是邊長為
的正三角形．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
任作一動直線
交橢圓于
兩點，記
．若在線段
上取一點
，使得
，當直線運動時，點在某一定直線上運動，求出該定直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2
與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，
恒為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知平面內一動點
到兩個定點
、
的距離之和為
，線段
的長為
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點作直線
與軌跡交于、
兩點，且點在線段的上方，
線段
的垂直平分線為
.
①求
的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點
、
關于直線對稱，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，點
是橢圓
的一個頂點，
的長軸是圓
的直徑，
、
是過點
且互相垂直的兩條直線，其中交圓
于
、
兩點，交橢圓于另一點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）求
面積的最大值及取得最大值時直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切。
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
、
兩點，且
，試判斷
的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率
，長軸的左右端點分別為
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線
與曲線有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
.問在
軸上是否存在定點
，使得以
為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
是橢圓E：
的兩個焦點，拋物線
的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝
上到焦點F1，F2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點
的動直線
交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
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