Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點為左支上任意一點，直線是雙曲線的一條漸近線，點在直線上的射影為，且當取最小值5時，的最大值為（ ）

A. B. C. D. 10

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先由雙曲線的定義及條件得到（定值），然后可采用幾何法、代數法兩種方法得到，最后再根據基本不定式求解即可．

由雙曲線的定義可知，

所以，

當，，三點共線時，最小，

所以，

所以．

由題意得．

方法一：由的面積是（為原點）的面積的2倍，，，

得，

所以的面積為．

又由知，

因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，

所以最大為．

故選A．

方法二：因為直線為雙曲線的一條漸近線，

所以方程為．過左焦點與漸近線垂直的直線方程為，

由，解得，所以，

所以．

又由知，

因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，

所以最大為．

故選A．