【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發現，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應的等邊三角形的邊長比為
，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內的概率為______.
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【題目】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
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【題目】已知動圓
過定點
，且與直線
相切，橢圓
的對稱軸為坐標軸，
點為坐標原點，
是其一個焦點，又點
在橢圓
上．
（1）求動圓圓心
的軌跡
的標準方程和橢圓
的標準方程；
（2）若過
的動直線
交橢圓
于
點，交軌跡
于
兩點，設
為
的面積，
為
的面積，令
的面積，令
，試求
的取值范圍.
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【題目】某學校為了了解該校某年級學生的閱讀量（分鐘），隨機抽取了
名學生調查一天的閱讀時間，統計結果如下圖表所示:
組號 | 分組 | 男生人數 | 男生人數占本組人數的頻率 | 頻率分布直方圖 |
第1組 |
| 5 | 0.5 |
|
第2組 |
| 18 | 0.9 | |
第3組 |
| 27 | 0.9 | |
第4組 |
|
| 0.36 | |
第5組 |
| 3 | 0.2 |
（1）求出
的值并估計該校學生一天的人均閱讀時間；
（2）一天的閱讀時間不少于35分鐘稱為“喜好閱讀者”.根據以上數據，完成下面的
列聯表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“喜好閱讀者”與“性別”有關？
喜好閱讀者 | 非喜好閱讀者 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附：
（其中
為樣本容量）.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知
兩點分別在
軸和
軸上運動，且
，若動點
滿足
.
（1）求出動點
的軌跡
的標準方程；
（2）設動直線
與曲線有且僅有一個公共點，與圓
相交于兩點
（兩點均不在坐標軸上），求直線
的斜率之積.
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【題目】已知橢圓
(
)的離心率為
，以
的短軸為直徑的圓與直線
相切.
（1）求的方程；
（2）直線
交于
，
兩點，且
.已知
上存在點
，使得
是以
為頂角的等腰直角三角形，若在直線
的右下方，求
的值.
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【題目】已知橢圓
：
的離心率
，左、右焦點分別是
、
，且橢圓上一動點
到的最遠距離為
，過的直線
與橢圓交于
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當
以
為直角時，求直線
的方程；
（3）直線的斜率存在且不為0時，試問
軸上是否存在一點
使得
，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.
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【題目】某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動、活動規則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為
元，若在購機后一年內發生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這
萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內未發生碎屏的用戶中隨機抽取
名，每名用戶贈送元的紅包，為了合理確定保費的值，該手機廠商進行了問卷調查，統計后得到下表（其中
表示保費為元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例）；
（1）根據上面的數據求出關于的回歸直線方程；
（2）通過大數據分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內發生碎屏的比例為
．已知更換一次該型號手機屏幕的費用為
元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤不少于
萬元，能否把保費定為5元？
x | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
y | 0.79 | 0.59 | 0.38 | 0.23 | 0.01 |
參考公式：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
，
參考數據：表中的5個值從左到右分別記為
，相應的值分別記為
，經計算有
，其中
，
．
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