Question

【題目】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E．

（1）證明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面積S= ADAE，求∠BAC的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知△ABC的角平分線為AD，

可得∠BAE=∠CAD

因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，

所以∠AEB=∠ACD

故△ABE∽△ADC

（2）解：（因為△ABE∽△ADC，

所以 ，

即ABAC=ADAE．

又S= ABACsin∠BAC，

且S= ADAE，

故ABACsin∠BAC=ADAE．

則sin∠BAC=1，

又∠BAC為三角形內角，

所以∠BAC=90°．

【解析】（1）要判斷兩個三角形相似，可以根據(jù)三角形相似判定定理進行證明，但注意觀察已知條件中給出的是角的關系，故采用判定定理1更合適，故需要再找到一組對應角相等，由圓周角定理，易得滿足條件的角．（2）根據(jù)（1）的結論，我們可得三角形對應對成比例，由此我們可以將△ABC的面積 轉化為S= ABAC，再結合三角形面積公式，不難得到∠BAC的大小．