Question

【題目】已知函數.

（1）若函數和函數在區間上均為增函數，求實數的取值范圍；

（2）若方程有唯一解，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知中函數f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x的解析式，我們易求出他們導函數的解析式，進而求出導函數大于0的區間，構造關于a的不等式，即可得到實數a的取值范圍；（2）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，則函數h（x）=f（x）-g（x）=2x2-8lnx-14x與y=m的圖象有且只有一個交點，求出h'（x）后，易求出函數的最值，分析函數的性質后，即可得到滿足條件的實數m的值．

試題解析：（1）因為 ，

故當時， ，當時， ，

要使在上遞增，必須，

因為，

要使在上遞增，必須，即，

由上得出，當時， 在上均為增函數.

（2）方程有唯一解有唯一解，

設，

所以

隨變化如下表：

		4
	-	0	+
	遞減	極小值	遞增

由于在上， 只有一個極小值，所以的最小值為，故當時，方程有唯一解.